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MATEMATICAS
lunes, 5 de marzo de 2012
FUNCIONES
Se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función constante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
funciones017 funciones018
Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.
funcion2x-1
f(x) = 2x − 1
En general, una función lineal es de la forma
funciones020
f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).
Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 27_2010
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
funciones024
El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma
funciones025
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
funciones023
f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
funciones003
para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:
funciones004
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia
Ver, además Función raíz cuadrada
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función constante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
funciones017 funciones018
Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.
funcion2x-1
f(x) = 2x − 1
En general, una función lineal es de la forma
funciones020
f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).
Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 27_2010
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
funciones024
El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma
funciones025
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
funciones023
f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
funciones003
para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:
funciones004
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia
Ver, además Función raíz cuadrada
VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
El valor absoluto de un número es su valor numérico sin tener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.
Formalmente el valor absoluto de todo numero real esta definido por:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:
1º Propiedad multiplicativa
Nos dice que “El valor absoluto de un producto es igual a el producto de los valores absolutos
2º Preservación de la division (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero”
3º Propiedad de la simetria
Nos dice que “El valor absoluto del opuesto de un numero es igual a el valor absoluto del numero”
4º Definicion positiva
Nos dice que “El unico numero que su valor es 0 es el mismo 0”
5º No negatividad
Nos dice que “El valor absoluto de cualquier numero nunca va a dar negativo”
6º Identidad de Indescernibles
Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adicion de dos numeros es 0 entonces o bien y son el mismo numero o son opuestos uno del otro”.
7º Propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos”.
8º Equivalente a la propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos”.
9º Desigualdad triangular
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo”
Formalmente el valor absoluto de todo numero real esta definido por:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:
1º Propiedad multiplicativa
Nos dice que “El valor absoluto de un producto es igual a el producto de los valores absolutos
2º Preservación de la division (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Nos dice que “El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero”
3º Propiedad de la simetria
Nos dice que “El valor absoluto del opuesto de un numero es igual a el valor absoluto del numero”
4º Definicion positiva
Nos dice que “El unico numero que su valor es 0 es el mismo 0”
5º No negatividad
Nos dice que “El valor absoluto de cualquier numero nunca va a dar negativo”
6º Identidad de Indescernibles
Nos dice que “Cuando el valor absoluto de una adicion de dos numeros es 0 entonces o bien y son el mismo numero o son opuestos uno del otro”.
7º Propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos”.
8º Equivalente a la propiedad aditiva
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos”.
9º Desigualdad triangular
Nos dice que “El valor absoluto de una resta de dos numeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo”
INECUACIONES
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de orden (<, >, ≤ o ≥). Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo.
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